Tác giả Chủ đề: Giải trí toán học  (Đã xem 51571 lần)

0 Thành viên và 1 Khách đang xem chủ đề.

Ngủ rồi hoangnguyen

Giải trí toán học
« vào: 20/08/2010, 15:10:00 »
Tôi xin phép mở ra mục này để các bác yêu thích toán học trên sách xưa giới thiệu tóm tắt nội dung các công trình toán học của GS. Châu, GS Châu có rất nhiều các công trình toán học và chương trình Langlands chỉ là 1 trong những công trình đó.

Giới thiệu khái quát về chương trình Langlands

Chương trình Langsland là gì?

Là chương trình toán học lớn nhằm thống nhất hình học và số học. Cụ thể hơn nó là một loạt những giả thuyết, để nối kết lý thuyết số với lý thuyết nhóm.

Khái niệm lí thuyết số và lí thuyết nhóm

Lý thuyết số

Lý thuyết số là ngành nghiên cứu số nguyên, tức là những số như 1, 13, 1527, khác với số hữu tỷ (3/5, 7/13) hay vô tỷ (số pi), các nhà toán học trong ngành lý thuyết số nghiên cứu mối quan hệ giữa các số nguyên, và trong đó quan trọng nhất là số nguyên tố.

Số nguyên tố, như 2, 3, 5, 7, 11, 13, v.v... là những số chỉ chia hết cho số 1 và chính nó. Số 9 không phải là số nguyên tố vì chia hết cho 3.

Ngành lý thuyết số nghiên cứu mối quan hệ giữa các số, giữa các số nguyên tố, họ nghiên cứu các số này liên quan với nhau ra sao, khi cộng trừ nhân chia với nhau thì kết quả gì sẽ xảy ra.


Lý thuyết nhóm

Lý thuyết nhóm là ngành nghiên cứu sự đối xứng, và có nhiều ứng dụng trong hóa học, trong vật lý, và trong việc chế tạo thuốc mới.

Trong hóa học, thí dụ có phân tử nằm theo hình khối tam giác, tức là như một kim tự tháp ba mặt. Người ta muốn biết khi hình khối đó xoay hướng này hướng kia thì phân tử đó trở thành khác đi, và lý thuyết nhóm cho các nhà hóa học tiên liệu những chuyện này.

Lý thuyết nhóm cho phép người ta nghiên cứu các cách đối xứng trong không gian, từ không gian ba chiều, cho tới không gian bốn chiều hoặc nhiều hơn.

Trong vật lý hạt nhân, các nhà vật lý nghiên cứu lý thuyết dây. Ðó chính là vật trong không gian đa chiều, và các cách xoay chiều và đối xứng của những 'dây' đó, là kết quả của lý thuyết nhóm.

Trong y, dược học cũng có ứng dụng lý thuyết nhóm. Cũng những phân tử đó, nếu nhà làm thuốc ghép theo hướng này hướng khác thì thuốc trở thành thuốc khác. và lý thuyết nhóm là phương tiện để tìm cách chế tạo thuốc mới.

Trong toán học lý thuyết nhóm xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học Pháp Évariste Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu về điều kiện để các phương trình đại số giải được bằng căn thức. Khi đó các nhóm thường được nghiên cứu là nhóm các hoán vị. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc nhóm. Trong đó bao gồm cả cấu trúc của tập hợp các số nguyên, số hữu tỷ, số thức,số phức.

Chương trình langlands

Cần bắt đầu câu chuyện từ Galois, nhà toán học người Pháp, người đặt nền móng cho toán học hiện đại. Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa lý thuyết nhóm và lời giải phương trình đa thức. Trước Galois, người ta đã biết phương trình đa thức từ bậc 5 trở lên không có công thức nghiệm tổng quát. Đó là nội dung của định lý Abel. Chẳng hạn như phương trình bậc nhất a x + b = 0 có công thức nghiệm tổng quát x=-b/a. Nhưng định lý Abel không cho biết khi nào phương trình đa thức có nghiệm và có thể giải được. Lý thuyết của Galois trả lời được vấn đề này. Kết quả là một phương trình đa thức có thể giải được hay không phụ thuộc vào các nghiệm số của nó có tạo thành một nhóm hoán vị hay không. Nhóm hoán vị này gọi là nhóm Galois. Chẳng hạn đối với phương trình bậc 2: a x^2 + b x + c = 0 có nghiệm số x1, x2 thỏa mãn công thức Viete: x1+x2=-b/a và x1*x2=c/a. Nếu đổi chỗ hai nghiệm này cho nhau trong công thức Viete thì ta vẫn thu được đẳng thức đúng: x2+x1=-b/a và x2*x1=c/a. Như vậy nghiệm số của phương trình bậc 2 có hai phép đối xứng: một là đồng nhất và hai là hoán vị. Chúng tạo thành nhóm Galois. Từ khái niệm nhóm Galois người ta phát triển tới khái niệm biểu diễn Galois. Biểu diễn Galois có thể xem là diễn tả mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm số của các phương trình nghiên cứu trong lý thuyết số.

Để hiểu được ý nghĩa của chương trình bổ đề Langlands, thì cũng cần chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat,(nhà toán học Pháp nêu lên vào thế kỷ 17 nhưng không để lại chứng minh) Và, vì thế, nó đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại trong hơn ba thế kỷ! Thoạt nhìn, định lý thật giản đơn: Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm nguyên dương khi n > 2.

Và câu hỏi là một số nguyên tố lẻ như thế nào có thể viết thành tổng của hai số chính phương? Ví dụ như 13=3^2 + 2^2. Fermat tìm ra số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 (có nghĩa là chia cho 4 dư 1) có tính chất như vậy. Ví dụ như các số 5, 13, 17... Như vậy mẫu hình cho số nguyên tố lẻ là đồng dư 1 của 4 có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác là có tính chất đối xứng. Định lý Fermat này là ví dụ đơn giản cho bài toán tổng quát hơn có tên gọi là luật nghịch đảo. Luật nghịch đảo tìm điều kiện để một phương trình bình phương đồng dư một số nguyên tố có nghiệm.

Định lý lớn Fermat khiến ta nhớ tới một định lý đã được Pythagore, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, chứng minh vào thế kỷ 6 trước Công nguyên, thường gọi là Định lý Pythagore: x2 + y2 = z2 (nếu trong một tam giác vuông ta coi cạnh huyền là z, các cạnh góc vuông là x và y).

Thế nhưng, hơn ba thế kỷ trôi qua, không ai chứng minh được Định lý này.

Giữa thế kỷ 20, hai nhà toán học Nhật Bản Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra giả thuyết là  mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu giả thuyết này đúng, thì nó sẽ tạo điều kiện để giải quyết nhiều bài toán eliptic cho đến nay chưa giải quyết được, bằng cách tiếp cận chúng qua thế giới modular. Và, như vậy, hai thế giới eliptic và modular vốn tách biệt nhau, sẽ có thể thống nhất và  bất cứ một bài toán chưa giải được trong một lĩnh vực nào đều có thể đổi thành một bài toán tương tự trong một lĩnh vực khác, và các nhà toán học có thể huy động cả một kho to lớn những kỹ thuật mới để giải nó.

Trong những năm 1960, R. Langlands và những người cộng tác tại Đại học Princeton (Mỹ) đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết cấu thành Chương trình Langlands.

Năm 1984, tại một hội nghị toán học tổ chức tại CHLB Đức, Gerhard Frey đi tới một kết luận là nếu chứng minh được Giả thuyết Taniyama - Shimura, thì cũng có nghĩa là chứng minh được Định lý lớn Fermat, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.

Năm 1991 , A. Wiles - một nhà toán học người Anh nghiên cứu tại Mỹ đã thành công khi chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat, chấm dứt hơn 300 năm năm căng thẳng trong giới toán học. Tuy nhiên, một kết quả mà những người ta ít chú ý tới, nhưng lại có ý nghĩa to lớn hơn nhiều, đó là chứng minh Giả thuyết Taniyama - Shimura nói trên

Giả thuyết Taniyama - Shimura được chứng minh có nghĩa là Chương trình Langlands có nền tảng vững chắc, và ko phải là 1 công thức mơ hồ. Chương trình này mặc nhiên trở thành bản thiết kế cho tương lai của toán học.

Một loạt giả thuyết toán học của Chương trình này liên kết nhiều đối tượng có vẻ rất khác nhau trong các lĩnh vực toán học như lý thuyết số, hình học đại số, lý thuyết các dạng tự đẳng cấu... ngày càng thu hút sự chú ý của các nhà toán học , và dần dần trở thành dòng chủ lưu của toán học hiện nay.

Năm 1987, Langlands đã phỏng đoán về một tương tự tương ứng cho trường hàm trên trường phức, về sau, được gọi là tương ứng Langlands hình học. Để chứng minh được sự tồn tại của tương ứng đó, phải giải quyết một bài toán lớn mà lúc đầu Langlands chưa thấy hết mức độ phức tạp của nó, nên mới gọi là Bổ đề cơ bản.

Langlands, cũng tìm ra mối liên quan với hình thức tự cấu.Hình thức tự cấu có thể coi là những hàm số đối xứng cao. Ví dụ đơn giản là hàm sin(x) hay cos(x). Các hàm số này có tính chất chu kỳ, hay nói cách khác chúng bất biến nếu ta dịch chuyển cả đồ thị hàm số dọc theo trục x đi 2 pi. Đây là tính chất đối xứng đơn giản. Langlands chỉ ra tương lai của lý thuyết số là ở hiểu biết các hàm số có tính chất chu kỳ kỳ lạ hay ở các dạng phức hợp khác. Ông nhận thấy một số (ví dụ như số 4 trong định lý Fermat kể trên là chu kỳ cho số nguyên tố lẻ có tính chất là tổng của hai số chính phương) thực ra là một ma trận 1x1. Như vậy sự dịch chuyển chu kỳ kiểu như vậy trong định lý Fermat kể trên có thể biểu diễn bằng một số hay một ma trận 1x1. Với các định luật nghịch đảo tổng quát hơn khoảng cách dịch chuyển biến đổi đằng sau chúng có thể biểu diễn bằng ma trận có kích thước lớn hơn. Đây là một định đề của Langlands trong chương trình mang tên ông.

Langlands đã đề xuất mối liên hệ mật thiết giữa đại số và giải tích, mà cụ thể hơn là sự tương ứng giữa biểu diễn Galois và hình thức tự cấu. Và là một lý thuyết thống nhất lớn của toán học trong đó bao gồm cả tìm kiếm tổng quát hóa của tính nghịch đảo Artin đến mở rộng Galois cho trường số.

Năm 1979, Labesse và Langlands công bố khám phá hiện tượng về hai biểu diễn tự cấu cùng tương ứng với một hàm số L có thể xảy ra với bội khác nhau trong không gian của các hình thức tự cấu. Ban đầu Labesse và Langlands mới chỉ chứng minh cho nhóm SL(2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và được Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Hales và Weissauer chứng minh cho nhóm Sp(4). Kottwitz và Rogawski chứng minh cho nhóm unitary U(3). Sau đó Laumon và Ngô Bảo Châu chứng minh cho toàn bộ nhóm unitary U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004 cùng với Green. Tóm lại là GS Châu đã tìm ra điểm chung trong quá trình giải và liên kết chúng lại với nhau.

Thuật ngữ bổ đề (lemma) thường dùng để chỉ một cái gì đó dễ chứng minh, nhưng, trong trường hợp này, cụm từ bổ đề cơ bản (fundamental lemma) lại gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của Chương trình Langlands, một "bổ đề" khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều nhà toán học hàng đầu - đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại và năm 2008, GS. Ngô Bảo Châu chứng minh cho tất cả trường hợp và kết quả được khẳng định vào năm nay là GS được trao giải Fields
« Sửa lần cuối: 19/11/2010, 11:47:57 gửi bởi hoangnguyen »
 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta

Ngủ rồi philipit

  • ***
  • Bài viết: 109
  • Đánh giá: +0/-0
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #1 vào: 20/08/2010, 16:27:55 »
Galois chết sớm quá...
Cám ơn vì bài viết của bác.
 

Ngủ rồi kmath

  • Trí Ngủ biết bơi
  • *******
  • Bài viết: 2,742
  • Thanked: 4 times
  • Đánh giá: +2/-0
  • Giới tính: Nam
  • Phong lưu công tử đa xuân tứ
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #2 vào: 20/08/2010, 21:22:49 »
Đọc bài bác Hoàng ngay sau khi đọc bài của Dâu Tây, có vẻ bình dân hơn 1 tí :d



Vừa rồi báo chí kể nhiều về giáo sư Ngô Bảo Châu. Bố, mẹ anh làm gì, trước đây anh học ở đâu và được giải thưởng gì. Anh đã nhận giải thưởng Fields ở thành phố nào, được ai trao tặng huy chương. Thậm chí báo chí có nói công trình của anh dày 169 trang (169 trang cơ!), và nhắc tên của nhà xuất bản phát hành tạp chí mà đã công bố công trình đó.

Tuy nhiên, báo chí ít nhắc đến nội dung công việc anh ấy đã làm – công việc khiến anh ấy được chọn là người xứng đáng nhận giải thưởng Fields.

“Nói chung anh ấy giỏi toán”, là khái niệm sơ sơ của đa số tác giả viết bài liên quan. Khái niệm đó thường được thể hiện bằng ngôn ngữ rất hoành tráng, nhưng vẫn là khái niệm sơ sơ. Các tác giả thường dừng lại ở câu “Ngô Bảo Châu đã chứng minh được “Bổ đề cơ bản” (thỉnh thoảng cho chút tiếng Pháp vào cho oách: “Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie”). Nhưng “Bổ đề cơ bản” là gì và vì sao chứng minh nó?

Tôi không giỏi toán nhưng tôi nghĩ các vấn đề khoa học có thể được thể hiện bằng ngôn ngữ thú vị và dễ hiểu nếu tác giả bỏ chút thời gian nghiên cứu. Tôi đã nghiên cứu và thấy câu chuyện thật thú vị, không kể cho các bạn nghe thì...phí quá!

Câu chuyện bắt đầu như thế này. Cách đây rất lâu các nhà toán học đã công bố hai lý thuyết quan trọng: lý thuyết số học và lý thuyết nhóm (number theory, group theory) Bản chất của hai lý thuyết đó tôi sẽ để cho "bác Wiki” giải thích – điều nên nhớ là (a) hai lý thuyết ấy rất quan trọng trong thế giới toán học và (b) hai lý thuyết ấy từ xa nhìn riêng biệt với nhau, như hai cành của một thân cây.

Cách đây khoảng 30 năm, một nhà toán học Canada tên Robert Langlands đã công bố rằng ông ấy nghĩ hai lý thuyết ấy có sự liên quan rất đa dạng. Quan điểm của Robert (và cách thể hiện quan điểm đó) đã làm nhiều nhà toán học thực sự choáng! Robert cũng tự làm choáng mình – ông phát biểu rằng sẽ mất mấy thế hệ để chứng minh sự liên quan đa dạng mà ông ấy cho rằng có tồn tại.

“Nhưng bước đầu tiên sẽ tương đối dễ thực hiện”, ông Robert tự tin nói với đồng nghiệp. “Bước đầu tiên” đó Robert đặt tên là "fundamental lemma”, và đó chính là “Bổ đề cơ bản” mà các bạn đã nghe kể nhiều thời gian gần đây.

Ông Robert tựa như đang đứng trên đảo nhỏ. Nhìn về phía Đông là môt con tàu lớn. Nhìn về phía Tây cũng là một con tàu lớn. (Hai tàu không có người lái, trôi trên mặt biển.) Robert không nhìn kỹ được (xa quá) nhưng vẫn cho rằng hai con tàu đó có nhiều điểm chung. Có khi sản xuất cùng loại thép. Có khi chân vịt cùng cỡ. Có khi bánh lái của “tàu Đông” hướng về phía tay phải thì bánh lái của “tàu Tây” sẽ tự động hướng về phía tay trái.

Khỏi phải nói hai con tàu đó là lý lý thuyết số học và lý thuyết nhóm.

Với ông Robert, việc chứng minh “bổ đề cơ bản” có thể so sánh với việc ném hai sợi dây có móc sang hai tàu. Khi việc đó làm xong, các nhà toán học khỏe mạnh có thể đứng trên đảo cùng Robert, dùng dây kéo hai tàu gần nhau. (Khi đó mới nhìn kỹ được, tìm ra sự liên quan.) Việc kéo hai con tàu gần nhau để so sánh là việc Robert nghĩ sẽ mất mấy thế hệ. Nhưng việc ném hai sợi dây có móc ông Robert nghĩ sẽ được thực hiện nhanh thôi.

Nhưng ông Robert đã nhầm. Việc ném dây khó lắm. Robert cùng một số em sinh viên đã ném thử mấy lần nhưng lần nào cũng thất bại. Họ chỉ biết ném gần (không chính xác được) và dùng dây loại mỏng.

Đảo của Robert trở thành đảo nổi tiếng. Suốt 30 năm có rất nhiều nhà toán học sang “ném thử” Ai cũng lau mồ hôi và kêu lên “khó quá!” Nhiều nhà toán học trên đất liền chuẩn bị công cụ dùng để kiểm tra và so sánh hai con tàu lúc được kéo về đảo (kéo gần nhau!). Họ sản xuất máy để kiểm tra loại sơn, lập trình phần mềm để phân tích hai chân vịt. Thậm chí có người tập lái tàu và tập cách đứng trên boong tàu để không bị say sóng. Những công việc và sự tập luyện đó sẽ thành vô nghĩa nếu không có người biết ném dây chính xác.

Và rồi xuất hiện anh Ngô Bảo Châu. Nghe kể về đảo của Robert, anh bơi sang xin phép được ném thử. “Được chứ!”, các nhà toán học giỏi nhất thế giới động viên. “Anh cứ thử thoải mái đi, thử mấy lần cũng được, thử xong ngồi cùng chúng tôi uống trà đá nhé!”

Anh Châu ném thử một lần, ném rất mạnh, dùng loại dây nặng nhất. Các nhà toán học kia đứng lên ngạc nhiên, nhiều cốc trà đá rơi xuống đất. Cách ném của anh Châu rất lạ; anh dùng kỹ thuật đặc biệt mà chưa ai thấy bao giờ. “Ném thật đi anh ơi!”, các nhà toán học động viên tiếp. “Biết đâu anh sẽ là nhà toán học đầu tiên bắt tàu hai tay!”



Ngô Bảo Châu ném thật. Và chính xác. Hai cái móc dính vào hai con tàu ngay, mọi người vỗ tay ầm ĩ. Rồi anh Châu bảo các nhà toán học đứng trên đảo của Robert cầm dây giúp (và bắt đầu kéo hai tàu gần nhau), để anh ấy có thể đi sang Ấn Độ nhận giải thưởng Fields. Câu chuyện kết thúc tại đây.

Chứng minh “Bổ đề cơ bản là” là một trong những thành công lớn nhất của toán học hiện đại, được tạp chí Time bình chọn là 1 trong 10 phát minh khoa học tiêu biểu của năm 2009. Vì Ngô Bảo Châu đã hoàn thành việc này nên những năm tới đây các nhà khoa học thế giới có thể tự tin nghiên cứu sự liên quan giữa lý thuyết số học và lý thuyết nhóm. Đó thực sự là một thành đạt tuyệt vời – cả Việt Nam nên tự hào về người ném dây có tên Ngô Bảo Châu.

Nguồn: http://dantri.com.vn/c135/s702-416739/tham...go-bao-chau.htm
 
Blog cầu treo (cheo leo từng mái chèo) http://khanhnq1987.wordpress.com/

Ngủ rồi kmath

  • Trí Ngủ biết bơi
  • *******
  • Bài viết: 2,742
  • Thanked: 4 times
  • Đánh giá: +2/-0
  • Giới tính: Nam
  • Phong lưu công tử đa xuân tứ
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #3 vào: 20/08/2010, 21:34:27 »
Tiếp theo là bài giới thiệu của GS Nguyễn Duy Tiến về chương trình Langlands kèm theo bài đính chính bổ sung một số vấn đề chuyên môn do chính GS Ngô Bảo Châu soạn thảo (vì là rượu Quốc Lủi nên nặng đô hơn mấy bài trên đôi ba phần, các bác uống say nhớ đừng quên lối về, hihi)

Giới thiệu ngắn gọn về chương trình Langlands

GS Nguyễn Duy Tiến

Robert Phelan Langlands là nhà toán học Mỹ gốc Canada (sinh ngày 6/10/1936, tuổi Chuột, tại New Westminster, British Columbia, Canada) là giáo sư danh dự (emeritus professor) của Viện Nghiên cứu cao cấp (Institute for Advanced Study, Mỹ). Công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu và lý thuyết biểu diễn có ảnh hưởng rất lớn tới Lý thuyết số, năm 1957, Langlands tốt nghiệp Đại học British Columbia và nhận bằng thạc sĩ cũng tại đại học này năm 1958, nhận học vị tiến sĩ tại Đại học Yale năm 1960. Sau đó, từ 1960 đến 1967 ông giảng dạy tại Đại học Princeton và ông nhận học hàm phó giáo sư tại đại học này, rồi từ năm 1967 đến 1972 ông trở về giảng dạy tại Đại học Yale. Năm 1972, ông được công nhận là giáo sư tại Viện Nghiên cứu cao cấp ở Princeton và trở thành giáo sư danh dự từ tháng 1/2007 của viện này.

Ông đã xây dựng Lý thuyết giải tích của chuỗi Eisenstein đối với các nhóm reductive có hạng lớn hơn một. Điều này cho phép mô tả một cách tổng quát phổ liên tục của các thương số học và chứng tỏ rằng tất cả các dạng tự đẳng cấu đều xuất hiện dưới các dạng (cusp) (nhọn) và thặng dư của các chuỗi Eisenstein sinh ra từ các dạng (cusp) của các nhóm con bé hơn.

Áp dụng đầu tiên của kết quả này là: ông chứng minh được giả thuyết của André Weil về số Tamagawa đối với lớp lớn của các nhóm Chevalley đơn liên bất kỳ xác định trên trường các số hữu tỉ. Trước đó, người ta chỉ biết điều này trong một vài trường hợp đơn lẻ và đối với một số nhóm cổ điển và có thể chứng minh bằng quy nạp.

Áp dụng thứ hai công trình của ông về chuỗi Eisenstein là: ông có thể chứng minh sự thác triển phân hình đối với một lớp lớn các L-hàm nảy sinh trong lý thuyết các dạng tự đẳng cấu mà trước đó chưa ai biết. Các L-hàm xuất hiện trong các thành phần hằng số của chuỗi Eisenstein và tính phân hình cũng như phương trình hàm yếu là hệ quả của các phương trình hàm đối với chuỗi Eisenstein.

Vào mùa đông 1966/67, công trình này dẫn tới, các giả thuyết lập nên chương trình Langlands. Nói một cách đại thể, các giả thuyết này nhằm mở rất rộng các ví dụ đã biết trước đây của luật thuận nghịch (reciprocity), bao gồm:

(a) Lý thuyết trường lớp cổ điển, trong đó các đặc trưng của các nhóm Galois Abel địa phương và số học được đồng nhất với các nhóm nhân tính địa phương và nhóm thương idele (idele quotient group), tương ứng;
(b) Các kết quả trước đây của Eichler và Shimura, trong đó các các hàm zeta Hasse-Weil của thương số học của nửa mặt phẳng trên được đồng nhất với các
L-hàm có mặt trong lý thuyết Hecke về các dạng tự đẳng cấu chỉnh hình.

Các giả thuyết này lần đầu tiên được đặt ra dưới dạng tương đối đầy đủ trong lá thư nổi tiếng gửi cho Weil tháng 1/1967. Trong lá thư này Langlands đưa ra khái niệm L-nhóm và cùng với nó khái niệm hàm tử (functoriality).

Hàm tử, L-nhóm, nhập đề chặt chẽ của các nhóm adele ( hay Abel ? )và áp dụng của lý thuyết biểu diễn về nhóm reductive trên trường địa phương đã làm thay đổi hoàn toàn phương pháp nghiên cứu về các dạng tự đẳng cấu đã tiến hành trước đó. Việc Langlands đưa ra khái niệm này đã bẻ những bài toán lớn và một số những bài toán tương tác mở rộng thành những bài toán nhỏ hơn và dễ giải quyết hơn. Đặc biệt, những khái niệm này đã quy lý thuyết biểu diễn vô số chiều của các nhóm reductive thành một lĩnh vực chính của hoạt động toán học.

Hàm tử là giả thuyết nói rằng các dạng tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau có mối liên hệ thông qua các L-nhóm của chúng.

Một ví dụ là trong lá thư gửi Weil, Langlands đề ra khả năng giải quyết giả thuyết nổi tiếng của Emil Artin khi xét dáng điệu của các L-hàm Artin và hy vọng giải quyết được một phần nhờ thay đổi cơ sở. Khi áp dụng cho Giả thuyết Artin ta có: hàm tử liên kết với mỗi biễu diễn N-chiều của một nhóm Galois với một biểu diễn tự đẳng cấu của nhóm adelic ứng với GL(N). Trong lý thuyết của các đa tạp Shimura, nó liên kết các biểu diễn tự đẳng cấu của các nhóm khác nhau với các biểu diễn Galois l-adic cụ thể.

Hervé Jacquet và Langlands đã viết một cuốn sách về   trình bày lý thuyết các dạng tự đẳng cấu đối với nhóm tuyến tính tổng quát GL(2), thiết lập tương ứng Jacquet-Langlands và chứng tỏ rằng đối với GL(2) hàm tử có khả năng giải thích rất chính xác việc các dạng tự đẳng cấu gắn kết như thế nào với các đại số quaternion. Sách này đã áp dụng công thức vết adelic đối với GL(2) và các đại số quaternion thực hiện việc đó. Sau đó, James Arthur, một sinh viên của Langlands đã phát triển thành công công thức vết cho các nhóm có hạng cao hơn. Đó là công cụ chính để nghiên cứu hàm tử một cách tổng quát. Đặc biệt, nó đã được áp dụng để chứng minh rằng các hàm zeta Hasse-Weil zeta của một số đa tạp Shimura cụ thể nằm trong số các L-hàm cảm sinh từ các dạng tự đẳng cấu.

Người ta cho rằng giả thuyết về hàm tử còn lâu mới được chưng minh. Một trường hợp riêng (giả thuyết Artin, do Langlands và Tunnell công bố) là điểm xuất phát để Andrew Wiles tấn công vào Giả thuyết Taniyama-Shimura và Định lý cuối cùng của Fermat. Langlands đã nhận dược các giải thưởng sau:

1996 Giải thưởng Wolf cùng với Andrew Wiles.
2005 Giải thưởng Steel của Hội Toán học Mỹ.
1980 Giải thưởng Jeffery-Williams.
2006 Giải thưởng Nemmers về Toán.
2007 Giải thưởng Shaw, các khoa học về Toán (cùng với Richard Taylor) nhờ công trình của ông về các dạng tự đẳng cấu.

Tóm lại, chương trình Langlands là nhằm giải quyết những giả thuyết của Langlands đề ra vào đầu năm 1967. Các giả thuyết này liên quan tới nhiều vấn đề rất quan trọng của Toán học và Vật lý lý thuyết, đặc biệt là Lý thuyết số, Lý thuyết nhóm, Lý thuyết biễu diễn. Hầu hết các nhà toán học đều tin vào tính đúng đắn của các giả thuyết trong chương trình Langlands. Chính Langlands đã mất nhiều công sức nghiên cứu và cũng chính ông phát biểu “Bổ đề cơ bản” trên con đường chinh phục vấn đề này.

Văn bản đính chính bổ sung một số vấn đề chuyên môn do GS Ngô Bảo Châu soạn thảo cho bài giới thiệu ngắn gọn của GS Nguyễn Duy Tiến

GS Ngô Bảo Châu

1) Dạng tự đẳng cấu là khái niệm của Poincaré: hàm số trên không gian đối xứng G/K, G là nhóm Lie, K là nhóm con compact cực đại, biến đổi theo một công thức đơn giản với tác động bên trái của một nhóm con số học   của G. Sau đó Gelfand chuyển hướng nhìn từ dạng tự đẳng cấu thành biểu diễn tự đẳng cấu, một bộ phận của lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều và nghiên cứu phổ, giá trị riêng của toán tử Hecke...

Trong trường hợp SL(2), (một nửa) số dạng tự đẳng cấu là dạng modula. Trong trường hợp dạng modula, giá trị riêng của toán tử Hecke có tính chất số học, liên quan đến số điểm của một đường cong ellliptic modulo p. Giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil nói là mọi đường cong elliptic xác định bởi phương trình có hệ số hữu tỉ đều có hàm số L là hàm số L của một dạng module.

Định lý lớn của Langlands là định lý phân rã phổ : mô tả phổ liên tục (chuỗi Eiseinstein) dựa theo phổ rời rạc của nhóm bé hơn. Đúng như chú (tác giả) viết, nó có ngay ứng dụng lên giả thuyết của Weil về số Tamagawa, mở rộng một công thức của Siegel.

Phát hiện lớn của Langlands là quy tắc hàm tử. Quy tắc hàm tử không mô tả một phổ cụ thể nào nhưng mô tả chính xác trong trường hợp nào ta có quan hệ giữa hai phổ khác nhau và quan hệ đó như thế nào. Quy tắc hàm tử tạo nên rất nhiều ràng buộc lên phổ. Trong bức thư gửi cho Weil, Langlands giải thích tại sao nguyên tắc hàm tử kéo theo giả thuyết Artin về tính chỉnh hình của hàm số L của Artin. Nó cũng kéo theo cả giả thuyết Selberg về giá trị riêng đầu tiên của Laplacian.

Một bộ phận khác của "triết lý" của Langlands là luật thuận nghịch. Luật này mô tả phổ tự đẳng cấu bằng biểu diễn Galois. Nó chứa luật thuận nghịch của Gauss, Eiseinstein,... và cả giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil. Chỉ có điều để phát biểu luật thuận nghịch cũng cần giả thuyết khác. Nó có ảnh hưởng rất lớn đến số học, nhưng có lẽ phải chứng minh được quy tắc hàm tử rồi mới hiểu được luật thuận nghịch. Đối với trường hàm số, luật thuận nghịch đã được chứng minh bởi Drinfeld cho nhóm GL(2) và Lafforgue cho nhóm GL(n).

2) Lý thuyết nội soi nghiên cứu các dạng tự đẳng cấu có cùng hàm số L, hay là cùng ứng với một biểu diễn Galois theo luật thuận nghịch. Để mô tả nó, Langlands dùng công thức vết, so sánh hai công thức vết khác nhau. Vì thế nên cần một số đẳng thức giữa các tích phân quỹ đạo gọi là Bổ đề cơ bản.

3) Ứng dụng của Bổ đề cơ bản
a) Endoscopy như ở trên.
b) Arthur : trường hợp đặc biệt của quy tắc hàm tử: đi từ nhóm cổ điển lên nhóm GL(n).
c) Kottwitz : đa tạp Shimura, nhiều trường hợp đặc biệt của luật thuận nghịch.
d) Công thức vết ổn định : công cụ chính để tiếp tục nghiên cứu quy tắc hàm tử.
 
Blog cầu treo (cheo leo từng mái chèo) http://khanhnq1987.wordpress.com/

Ngủ rồi gamotsach

  • Riêng một góc trời.
  • *******
  • Bài viết: 6,118
  • Thanked: 3 times
  • Đánh giá: +0/-0
  • Thục sơn ngột, A phòng xuất.
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #4 vào: 20/08/2010, 21:49:18 »
Tuyệt vời.Hay quá.Nhưng chỉ hiểu sơ sơ những gì Ngô Bảo Châu làm (cũng có khi không hiểu gì hết).Nhưng tại sao lại thế này:Ngô Bao Châu:Université Paris - Sud.Tại sao không là Université Hanoi.Hi.
 
Tiến sĩ danh dự Đại học Tham Mà Sặc.

Ngủ rồi kmath

  • Trí Ngủ biết bơi
  • *******
  • Bài viết: 2,742
  • Thanked: 4 times
  • Đánh giá: +2/-0
  • Giới tính: Nam
  • Phong lưu công tử đa xuân tứ
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #5 vào: 21/08/2010, 00:20:13 »
Các bác đảng viên đảng ve chai có thích đọc chuyện làng toán và chuyện toán không ạ? Nếu có tối thiểu 10 bác thực sự thích (thể hiện qua việc ấn thanks bài này) thì em sẽ chuẩn bị tư liệu úp dần cho các bác đọc chơi lúc nông nhàn các bác nhé :p
 
Blog cầu treo (cheo leo từng mái chèo) http://khanhnq1987.wordpress.com/

Ngủ rồi Thạch Nguyên

  • ***
  • Bài viết: 200
  • Đánh giá: +0/-0
  • Giới tính: Nam
  • eastcoast librul
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #6 vào: 21/08/2010, 01:19:54 »
Các bác đảng viên đảng ve chai có thích đọc chuyện làng toán và chuyện toán không ạ? Nếu có tối thiểu 10 bác thực sự thích (thể hiện qua việc ấn thanks bài này) thì em sẽ chuẩn bị tư liệu úp dần cho các bác đọc chơi lúc nông nhàn các bác nhé :p

Nếu làm được thì làm đi bác ạ. Con người đa số theo phong trào. Chứ đợi được mười người phải thể hiện thực sự thích toán thì e rằng bác cũng cụt hứng.
 
sao bỗng nghe đau mềm phế phủ
mười 20 năm đá cũng ngậm ngùi thay

Ngủ rồi kmath

  • Trí Ngủ biết bơi
  • *******
  • Bài viết: 2,742
  • Thanked: 4 times
  • Đánh giá: +2/-0
  • Giới tính: Nam
  • Phong lưu công tử đa xuân tứ
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #7 vào: 21/08/2010, 08:35:43 »
Nếu làm được thì làm đi bác ạ. Con người đa số theo phong trào. Chứ đợi được mười người phải thể hiện thực sự thích toán thì e rằng bác cũng cụt hứng.

Bác yên tâm, hứng thú em không bao giờ cụt đâu ạ, vì lúc chưa post post bài ở đây thì em cũng post ở rất nhiều nơi khác rồi ạ. Với cả đây là diễn đàn sách, nếu em spam 1 mớ bài dài dòng về toán mà không có sự đồng thuận của các lão thành cách mạng thì lợi bất cập hại, hihi  ;;)
 
Blog cầu treo (cheo leo từng mái chèo) http://khanhnq1987.wordpress.com/

Ngủ rồi hoangnguyen

Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #8 vào: 21/08/2010, 17:01:41 »
Hoan hô tinh thần đam mê tóan học của các bác Philipit, gamotsach, Thạch Nguyên .....và nhất là bác Kamath, bác cố gắng làm sao post bài với ngôn từ đơn giản, dễ hiểu, chứ nếu bác dùng tòan danh từ chuyên môn tóan học thì e là topic này sẽ bị đóng cửa sớm, và nếu có thể được xin bác giới thiệu vấn đề từ đơn giản đến phức tạp, giới thiệu tóan học cho những người ko chuyên về tóan học hiểu được là tuyệt vời :d

Tôi cũng vừa nhấn cám ơn cho bác đấy, GS tóan Kmath à

Các bác đảng viên đảng ve chai có thích đọc chuyện làng toán và chuyện toán không ạ? Nếu có tối thiểu 10 bác thực sự thích (thể hiện qua việc ấn thanks bài này) thì em sẽ chuẩn bị tư liệu úp dần cho các bác đọc chơi lúc nông nhàn các bác nhé :p
« Sửa lần cuối: 21/08/2010, 17:20:55 gửi bởi hoangnguyen »
 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta

hannah

  • bạn
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #9 vào: 21/08/2010, 17:18:06 »
Tôi đã nhấn Cảm ơn rồi, nhưng vẫn muốn nói thành lời với bác kmath rằng: Bác post bài về toán đi. Tôi cũng là dân mê toán và cũng từng là dân chuyên toán. Chỉ tiếc, không thể đi đến cuối đường dát gạch Toán được.
« Sửa lần cuối: 21/08/2010, 17:39:43 gửi bởi hannah »
 

Ngủ rồi hoangnguyen

Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #10 vào: 21/08/2010, 17:23:49 »
Tôi cũng như bác, nhưng sau đó mê kiếm tiền nên chuyển sang 1 hướng khác, nhưng tôi ko hề hối hận vì kiếm được nhiều tiền thì hình như có được nhiều điều hay hơn cho bản thân hơn là chỉ mê tóan bác nhỉ :d

Tôi đã nhấn Cảm ơn rồi, nhưng vẫn muốn nói thành lời với bạn kmath rằng: Bạn post bài về toán đi. Tôi cũng là dân mê toán và cũng từng là dân chuyên toán. Chỉ tiếc, không thể đi đến cuối đường dát gạch Toán được.
 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta

hannah

  • bạn
Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #11 vào: 21/08/2010, 17:32:01 »
Tôi cũng như bác, nhưng sau đó mê kiếm tiền nên chuyển sang 1 hướng khác, nhưng tôi ko hề hối hận vì kiếm được nhiều tiền thì hình như có được nhiều điều hay hơn cho bản thân hơn là chỉ mê tóan bác nhỉ :d


Thế nếu như, bác không chuyển hướng, cứ tiếp tục nghiên cứu, lỡ bác lại giành giải Fields này trước GS Ngô Bảo Châu. Bác có hối hận không? ;;)
 

Ngủ rồi hoangnguyen

Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #12 vào: 21/08/2010, 17:39:17 »
Trong cuộc đời tôi, có 1 quy tắc là một khi đã quyết định rồi thì sẽ ko thay đổi và chỉ tập trung cho những gì mình đã chọn, ko suy nghĩ theo hướng khác.  Hạnh phúc theo tôi là 1 tổng thể bao gồm thành tựu mà cá nhân đạt được trên nhiều mặt trọng yếu, ko chỉ là 1 mặt nào đó trong cuộc sống nên tôi ko hề hối hận cho những gì mình đã lựa chọn, bác à.

Thế nếu như, bác không chuyển hướng, cứ tiếp tục nghiên cứu, lỡ bác lại giành giải Fields này trước GS Ngô Bảo Châu. Bác có hối hận không? ;))

 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta

Ngủ rồi hoangnguyen

Re: Giải trí toán học
« Trả lời #13 vào: 25/08/2010, 10:42:51 »
Giải trí toán học: Trong khi chờ đợi các bác yêu thích post bài liên quan tới chủ đề Toán, tôi sẽ đăng rải rác những đoạn giải trí toán học cho các bác thưởng thức:

Lúc 6 tuổi thì C.F.Gauss ( 1777-1855) - nhà toán học thiên tài người Đức, đã tìm ra công thức tính:

1+2+3+...+n= n(n+1)/2

Trong 1 giờ toán, thầy giáo có 1 ra đề cho các học sinh của mình bài toán:

1    +2  +3+.....+98+99+100

Chỉ trong vài phút phân tích, Gauss đã đưa ra cách giải như sau:

1    +2  +3+.....+98+99+100 (1)
100+99+98+....+  3+ 2+    1 (2)
---------------------------------------
101+101+...................+101 ( lấy (1) cộng (2))

Nếu cộng theo cột dọc, thì đều có kết quả là 101 mà lại có 100 cột như vậy nên, kết quả sẽ là : 100*101/2=5050, chia 2 vì ta đã mượn thêm 1 hàng để tính toán

Khái quát hóa lên ta sẽ có công thức áp dụng cho tổng các số tự nhiên: 1+2+3+...+n= n(n+1)/2

Riêng bản thân tôi thì lúc 6 tuổi vẫn còn khóc nhè khi đi học lớp 1, và tối ngủ vẫn còn sờ tí mẹ :d




« Sửa lần cuối: 19/11/2010, 11:47:21 gửi bởi hoangnguyen »
 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta

Ngủ rồi hoangnguyen

Re: Khái quát về chương trình Langlands
« Trả lời #14 vào: 26/08/2010, 10:21:08 »
Vài nét về ma phương

Ma phương là gì?

Ma phương còn gọi là hình vuông ma thuật là một ma trận vuông mà có tổng các số trên cùng một hàng bằng tổng các số trên cùng một cột bằng tổng các số trên đường chéo chính nữa. chú ý ma phương chỉ tồn tại khi bậc của ma trận >=3. Nó là một trong những bảng toán cổ xưa nhất

Người Trung Hoa đã biết về ma phương từ rất lâu, cách đây 4, 5 nghìn năm trước công nguyên, con số này được bố trí vào 1 đồ hình gọi là lạc thư:

Lạc thư

Tương truyền vua Đại Vũ khi xưa đi trị thủy trên sông Lạc thì gặp rùa thần nổi lên, trên lưng có hình Cửu tinh. Vua Đại Vũ cho sao chép lại và gọi đó là Lạc thư. Khẩu quyết của Lạc thư là: "Đới Cửu, lý Nhất; tả Tam, hữu Thất; Nhị-Tứ vi kiên; Lục- Bát vi túc; Ngũ cư trung vị". Có nghĩa là: Trên đội 9, dưới đạp 1; bên trái 3, bên phải 7; 2 vai là 2 và 4; 2 chân là 6 và 8; còn 5 nằm chính giữa. Cộng tất cả các hàng cột ngang dọc ta đều ra kết quả là 15


4   9   2
3   5   7
8   1   6

Dựa vào Lạc thư, sau này vua Văn Vương nhà Chu mới đặt ra Hậu thiên Bát quái và định phương vị cho Cửu tinh như sau:

- Số 9 nằm ở trên tức hướng NAM. Vì phương NAM nóng, thuộc quẻ Ly-Hỏa nên số 9 mang hành Hỏa.
- Số 1 nằm ở dưới nên thuộc hướng BẮC. Vì phương Bắc hàn lạnh, thuộc quẻ Khảm-Thủy nên số 1 mang hành Thủy.
- Số 3 nằm bên trái thuộc phương ĐÔNG. Vì phương ĐÔNG là quẻ CHẤN-Mộc, nên số 3 mang hành Mộc.
- Số 7 nằm bên phải thuộc phương TÂY. Vì phương TÂY là quẻ ĐOÀI-Kim, nên số 7 mang hành Kim.
- Số 2 là "vai" bên phải, nên nằm tại phía TÂY NAM. Vì phía TÂY NAM thuộc quẻ KHÔN-Thổ, nên số 2 mang hành Thổ.
- Số 4 là "vai" bên trái, nện nằm tại phía ĐÔNG NAM. Vì ĐÔNG NAM thuộc quẻ TỐN-Mộc, nên số 4 mang hành Mộc.
- Số 6 là "chân" bên phải, nên nằm tại phía TÂY BẮC. Vì TÂY BẮC thuộc quẻ CÀN-Kim, nên số 6 có hành Kim.
- Số 8 là "chân" bên trái, nên nằm tại phía ĐÔNG BẮC. Vì phía ĐÔNG BẮC thuộc quẻ CẤN-Thổ, nên số 8 mang hành Thổ.
- Số 5 nằm ở chính giữa (tức trung cung). Vì trung cung là nơi phát sinh và cũng là nơi kết thúc của vạn vật, nên trung cung thuộc hành Thổ. Vì thế nên số 5 cũng mang hành Thổ.

Ma phương cũng được nghiên cứu ở Ấn Độ từ thế kỉ 1 TCN. Ma phương của người Ấn là 1 bảng vuông gồm 4 dòng và 4 cột

16   3   2   13
5   10   11   8
9   6   7   12
4   15   14   1

Cộng tất cả các hàng cột ngang dọc ta đều ra kết quả là 34

Ở Châu Âu, phải đến đầu thế kỉ 16 người ta mới biết tới ma phương, các ma phương đã lôi cuốn sự chú ý ko chỉ riêng các nhà toán học. Họa sĩ, nhà điêu khắc đồng thời là nhà toán học nổi tiếng người Đức Albert Durer đã có 1 tác phẩm điêu khắc mang tên " Sự u buồn" trong đó có cả 1 ma phương Ấn Độ mà 2 số 15, 14 hàng cuối tạo thành năm mà ông đã thực hiện tác phẩm 1514.

Có nhiều cách để tạo ra 1 ma phương, người ta có cả 1 thuật toán lập trình vi tính để tạo ra nó, đề nghị các bác nào biết cách tạo ra 1 ma phương đơn giản và dễ hiểu nhất thì xin post lên cho mọi người cùng học hỏi?

Trên mạng google, từ bạn kiwi tôi đã thấy bạn ấy đề nghị tạo 1 ma phương như sau:

Ma phương bậc lẻ: n=2m+1

Đặt a[2m,m]=1
Nếu phần tử k được đặt vào A[x,y] thì phần tử k+1 được đặt vào A[(x+1) mod n, (y+1) mod n] nếu ô này trống, ngược lại thì đặt vào ô A[(x-1) mod n, y]
Với A[0..n-1,0..n-1]

Ma phương bậc chẳn:

B1: Điền các số từ 1 đến n^2 vào bảng A theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới.
B2: Xác định số k=n div 2
Lập chuổi st gồm (k div 2) ký tự T. Nếu k lẻ thêm 2 ký tự DN vào chuổi st. Thêm các ký tự B vào chuổi st để chuổi st có độ dài là k.
B3: Tiến hành xử lý k dòng theo chuổi st với ý nghĩa các ký tự như sau:
T: phép đối xứng tâm --> Đổi chổ (A[i,j], A[n-i+1,n-j+1])
và Đổi chổ (A[n-i+1,j], A[i,n-j+1])
D: phép đối xứng dọc --> Đổi chổ (A[i,j], A[i,n-j+1])
N: phép đối xứng ngang --> Đổi chổ (A[i,j], A[n-i+1,j])
B: bỏ qua

Đảo chuổi st theo quy tắc phần tử cuối đem về đầu chuổi, các phần tử còn lại dịch sang phải 1 vị trí.
Ví dụ: TTBB --> BTTB



 
N'etam mama, n'eso' hamasmi, na me so atta